Question

【题目】如图，在中，，过点、，且交边、于点、，已知，连接、、．

求证：四边形为菱形；

若平分，求证：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；（2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论．

证明：连接并延长交于过作于，于，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴平行四边形为菱形．

∵圆过、，

∴在的垂直平分线上，

∵，

∴，

∵平分，，

∴，

∴由勾股定理得：，

由垂径定理得：．