Question

【题目】已知抛物线顶点坐标为（2，﹣4），且与x轴交于原点和点C，对称轴与x轴交点为M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）A点在抛物线上，且A点的横坐标为﹣2，在抛物线对称轴上找一点B，使得AB与CB的差最大，求B点的坐标；

（3）P点在抛物线的对称轴上，且P点的纵坐标为8．探究：在抛物线上是否存在点Q使得O、M、P、Q四点共圆，若存在求出Q点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）点B（2，﹣12）；（3）Q（5，5）或（，）或（，）．

【解析】

（1）根据顶点设出顶点坐标，再将原点的坐标代入即可得出答案；

（2）先求出A的坐标，根据三角形边的性质得出点O，A的直线与抛物线的对称轴的交点为点B，写出OA的解析式，即可得出答案；

（3）根据题意求出点P的坐标，根据四点共圆得出点Q在Rt△OMP外接圆上并设出Q的坐标，结合函数解析式以及点Q到OP的中点的距离列出方程组，解方程组，即可得出答案.

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，

∵抛物线过原点，

∴0＝a（0﹣2）2﹣4，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，

令y＝0，则x2﹣4x＝0，

∴x＝0或x＝4，

∴C（4，0），

∵A点的横坐标为﹣2，

∴y＝4﹣4×（﹣2）＝12，

∴A（﹣2，12），

而抛物线的对称轴为x＝2，

∴点C（4，0）关于抛物线的对称轴x＝2的对称点为O（0，0），

则过点O，A的直线与抛物线的对称轴的交点为点B，理由是三角形三边关系定理之两边之差小于第三边，

∵A（﹣2，12），

∴直线OA的解析式为y＝﹣6x，

当x＝2时，y＝﹣12，

∴点B（2，﹣12）；

（3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线x＝2，

∴P（2，8），

∵抛物线的对称轴与x轴交点为M，

∴M（2，0），

∴∠OMP＝90°，

∵点O、M、P、Q四点共圆，则点Q在Rt△OMP外接圆上，

∴点Q到OP的中点的距离等于半径OP＝，而OP的中点坐标为（1，4），

由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，设Q坐标为（m，n），则m2﹣4m＝n①，

∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝17②，

∴m2﹣2m+n2﹣8n＝0，

而m2﹣2m+（m2﹣4m）2﹣8（m2﹣4m）＝m2﹣2m+m2（m﹣4）2﹣8m（m﹣4）

＝m[m﹣2+m（m﹣4）2﹣8（m﹣4）]＝m[（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5（m﹣4）2﹣8（m﹣5）+3﹣8]

＝m{（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5[（m﹣5）2+2（m﹣5）+1]﹣8（m﹣5）﹣5}

＝m[（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5（m﹣5）2+10（m﹣5）﹣8（m﹣5）]

＝m（m﹣5）[1+（m﹣4）2+5（m﹣5）+2]

＝m（m﹣5）（m2﹣3m﹣6）

∴m（m﹣5）（m2﹣3m﹣6）＝0，

∴m＝0（舍）或m＝5或m2﹣3m﹣6＝0，

∴m＝5或m＝，

∴Q（5，5）或（，）或（，）．