Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．

（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？

（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）2s或4s；（2）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】

（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．

（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．

由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，

则（6﹣x）2x＝8，

整理得x2﹣6x+8＝0，

解得x1＝2，x2＝4．

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．

（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t．

当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，

解得：t＝．

当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，

解得：t＝．

综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．