Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（-4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．
（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），
故设其解析式为y=ax²+1，
则有：2=（-2）²×a+1，
得a=，
∴此抛物线的解析式为：y=x²+1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=4，AB∥OC，
又∵y轴是抛物线的对称轴，
∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点，
则MA=MB=2，
即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y=×2²+1=2，
即点A（2，2），
故点M（0，2）．

（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H．
则∠QHP=∠MOC=90°，
∵PQ∥CM，
∴∠QPH=∠MCO，
∴△PQH∽△CMO，
∴，
即，
而y=x²+1，
∴（x²+1），
∴t=-x²+x-2；

（3）设△ABQ的边AB上的高为h，
∵S_△BCM=BM•OM=2，
∴S_△ABQ=2S_△BCM=AB×h=4，
∴h=2，
∴点Q的纵坐标为4，代入y=x²+1，
得x=±2，
∴存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4），（-2，4）．
分析：（1）由抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），故设其解析式为y=ax²+1，则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式，又由四边形OABC是平行四边形，则可求得点A与M的坐标；
（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H，即可证得△PQH∽△CMO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x与t的关系式；
（3）设△ABQ的边AB上的高为h，可得S_△BCM=BM•OM=2，则又由S_△ABQ=2S_△BCM=AB×h，即可求得点Q的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．