Question

19．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K，且KG²=KD•KE．
（1）求证：AC∥EF；
（2）若sinE=$\frac{3}{5}$，AC=2$\sqrt{10}$，求HK的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件证出△DKG∽△GKE，得出∠DGK=∠E，再由同弧所对的圆周角相等得出∠DGK=∠ACD，得出∠E=∠ACD，即可证出平行线；
（2）连接BG，先由弦切角定理得出∠1=∠2，再证出AC=KC，由三角函数求出CH，即可得出HK．

解答 （1）证明：连接DG，如图所示：
∵KG²=KD•KE，
∴KG：KD=KE：KG，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△DKG∽△GKE，
∴∠DGK=∠E，
∵∠DGK=∠ACD，
∴∠E=∠ACD，
∴AC∥EF；
（2）连接BG，如图所示：
则∠1=∠2，∠AGB=90°，
∴∠1+∠AGE=90°，
由（1）得：∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，∠E=∠ACD，
∴∠2+∠AKC=90°，
∴∠AKC=∠AGE，
∵AC∥EF，
∴∠CAG=∠AGE，
∴∠CAG=∠AKC，
∴AC=KC，sin∠ACD=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴AH=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴CH=$\frac{4}{5}$AC=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
∴HK=KC-CH=AC-CH=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定以及三角函数；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明等腰三角形和运用三角函数才能求出结果．