Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．
（1）求如图1该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），过E作EF与x轴垂直，交线段BC于F，设E点横坐标为x．EF的长度为L，求L关于x的函数关系式？并写出x的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将点A、B代入函数解析式，列出方程组即可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）令x=0时，可得C的坐标，令y=0时，可求得A，B的坐标，再利用S_△ABC=

1

2

AB•OC即可求出答案，
（3）先求出BC的解析式，得出点F的坐标，由L=点E的纵坐标-点F的纵坐标求解可得出L关于x的函数关系式，即可求出线段EF的最大值及此时E点的坐标．

解答：解：（1）∵将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得，

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得

b=-2 c=3

，
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴D的坐标为（-1，4）．
（2）∵抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴令x=0时，得y=3，即C（0，3），
令y=0时，0=-x²-2x+3，解得x₁=-3，x₂=1，即B（-3，0），A（1，0）．
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
（3）设BC的解析式为y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入求得BC的解析式为y=x+3，
∵E点横坐标为x，EF与x轴垂直，
∴E（x，-x²-2x+3），F（x，x+3），
∴L=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x （-3＜x＜0），
∵L=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴线段EF的值最大是

9

4

，此时E点的坐标（-

3

2

，

15

4

）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识．