Question

如图，抛物线y=x²-3x-18与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直l线平行BC，交AC于点D，设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）解一元二次方程求出点A、B的坐标，然后计算即可求出AB，再令x=0求出y的值即可得到OC的长；
（2）求出△ABC的面积，再求出△AED和△ABC相似，然后利用相似三角形面积的比等于相似比列式求解即可；
（3）根据S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE列式整理，再利用二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）令y=0，则x²-3x-18=0，
解得x₁=-3，x₂=6，
所以，点A（-3，0），B（6，0），
所以，AB=6-（-3）=6+3=9，
令x=0，则y=-18，
所以，OC=18；

（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×9×18=81，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

AE

AB

）²，
∴△ADE的面积S=（

m

9

）²×81=m²，
∵点E在AB上，
∴0＜m＜9，
∴S=m²（0＜m＜9）；

（3）∵S_△ACE=

1

2

AE•OC=

1

2

•m•18=9m，
∴S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE
=9m-m²
=-（m-

9

2

）²+

81

4

∴当m=

9

2

时，△CDE面积的最大值为

81

4

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了一元二次方程的解法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）考虑利用相似三角形求解．