Question

已知：如图，点A是等腰直角△ABC的直角顶点，AD∥BC，BD=BC，BD交AC于点E，AF⊥BC，垂足为点F，求证：
（1）AF=

1

2

BD；
（2）∠CBD=30°；
（3）CD=CE．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，可知AF=

1

2

BC，且BD=BC，可得AF=

1

2

BD；
（2）过D作DG⊥BC于点G，则DG=AF=

1

2

BD，可知sin∠CBD=

1

2

，可求得∠CBD的度数；
（3）在△BCE中利用外角可得∠CED=45°+30°=75°，在△BCD中∠CBD=30°，可求得∠CDB=75°，可得到CD=CE．

解答：证明：
（1）∵△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
∴AF=

1

2

BC，
∵BD=BC，
∴AF=

1

2

BD；
（2）如图，过D作DG⊥BC于点G，则DG=AF，
∵AF=

1

2

BD，
∴DG=

1

2

BD，
∴∠CBD=30°；
（3）∵∠CED=∠ECB+∠EBC=45°+30°=75°，
而在△BCD中，∠CDB=

180°-30°

2

=75°，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质及直角三角形的性质，掌握直角三角形性质是解题的关键．注意外角性质的利用．