Question

已知抛物线y=x²-2ax+a²-2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．
（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；
（3）若直线y=x+a-2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标，根据已知即可求得P的坐标；
（2）设Q（m，（m-a）²-2），根据勾股定理即可求得PQ²=（m-a）²+[（m-a²）-3]²，令（m-a）²=n，得出PQ²=（n-

5

2

）²+

11

4

，即可求得PQ的最小值；
（3）联立方程，即可得到x²-（2a+1）x+a²-a=0，即可求得直线y=x+a-2与该抛物线交于B、C两点的横坐标、纵坐标的和，进而求得中点M的坐标，由M的坐标即可得出点M在直线y=2x-

5

2

上，根据△=（2a+1）²-4（a²-a）＞0，即可求得的取值，进而求得

2a+1

2

的取值，即直线y=2x-

5

2

的取值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2ax+a²-2，
∴y=（x-a）²-2，
∴A（a，-2），
∵P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．
∴P（a，1）；
（2）∵点Q在抛物线y=x²-2ax+a²-2上，
∴设Q（m，（m-a）²-2），则PQ²=（m-a）²+[（m-a²）-3]²
令（m-a）²=n，则PQ²=n+（n-3）²=（n-

5

2

）²+

11

4

，
当n=

5

2

时，PQ²最小，即PQ最小
∴PQ的最小值=

11 4

=

11

2

；
（3）由

y=x+a-2 y=x2-2ax+a2-2

得x²-（2a+1）x+a²-a=0
∴x₁+x₂=2a+1
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2a-4=4a-3，
∴M（

2a+1

2

，

4a-3

2

），
设M（x₀，y₀）
∴x₀=

2a+1

2

，y₀=

4a-3

2

，
∴y₀=2x₀-

5

2

，
∴点M在直线y=2x-

5

2

上
又∵△=（2a+1）²-4（a²-a）＞0，则a＞-

1

8

，
∴x₀＞

3

8

∴直线为y=2x-

5

2

（x＞

3

8

）．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的顶点和对称轴，求得线段的中点坐标是（3）的重点和关键．