Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接CB，在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得解析式；
（2）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为（1，m），分三种情况讨论，①PC=BC，②PB=BC，③PB=PC，求出m的值后即可得出答案．
（3）设M的坐标为（n，-n²+2n+3），根据S_△BCM=S_△OBC+S_△OCM-S_△OBC即可得出△BCM的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）存在，理由如下：
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为：x=1，假设存在P（1，m）满足题意：
讨论：
①当PC=BC时，
∵OB=3，OC=3，
∴BC=3

2

，
∴

12+(3-m)2

=3

2

，
解得：m=3±

17

，
∴P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

）；
②当PB=BC时，

(3-1)2+m2

=3

2

，
解得：m₃=

14

，m₄=-

14

，
∴P₃（1，

14

），P₄（1，-

14

），
③当PB=PC时，

12+(3-m)2

=

(3-1)2+m2

，
解得：m=1，
∴P₅（1，1），
综上，共存在5个点P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

），P₃（1，

14

），P₄（1，-

14

），P₅（1，1），使△PBC为等腰三角形．

（3）如图，设M的坐标为（n，-n²+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3）．
∴OB=3，OC=3，
∴S_△OBC=

1

2

×3×3=

9

2

，S_△OBM=

1

2

×3×（-n²+2n+3）=

3

2

（-n²+2n+3），_△OCM=

1

2

×3×n=

3

2

n，
∴S_△BCM=S_△OBC+S_△OCM-S_△OBC=

3

2

（-n²+2n+3）+

3

2

n-

9

2

=-

3

2

（n-

3

2

）²+

27

8

，
∴当n=

3

2

时，△BCM的面积最大，最大值是

27

8

，
∴M（

3

2

，

27

8

）．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等，难点在于（2），注意分类讨论，不要漏解．