【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2 ,求BC的长.
【答案】
(1)证明:连接OB,如图所示:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∵∠PBA=∠C,
∴∠PBA+∠OBA=90°,
即PB⊥OB,
∴PB是⊙O的切线
(2)解:∵⊙O的半径为2 ,
∴OB=2 ,AC=4 ,
∵OP∥BC,
∴∠C=∠BOP,
又∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO,
∴ ,
即 ,
∴BC=2
【解析】(1)连接OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;(2)证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出BC的长.
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【题目】多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售,第一次用1500元购进若干千克,并以每千克9元出售,很快售完.由于水果畅销,第二次购买时,每千克的进价比第一次提高了10%,用1694元所购买的水果比第一次多20千克,以每千克10元售出100千克后,因出现高温天气,水果不易保鲜,为减少损失,便降价45%售完剩余的水果.
(1)第一次水果的进价是每千克多少元?
(2)该水果店在这两次销售中,总体上是盈利还是亏损?盈利或亏损了多少元?
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【题目】在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.
(1)如图①,若△AMN是等边三角形,则∠BAC= °;
(2)如图②,若∠BAC=135°,求证:BM2+CN2=MN2.
(3)如图③,∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P,过点P作PH垂直BA的延长线于点H.若AB=4,CB=10,求AH的长.
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【题目】如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为( ,0),(0,1),把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,则点O′的坐标为 .
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【题目】将一串有理数按下列规律排列,回答下列问题.
(1)在A处的数是正数还是负数?
(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置?
(3)第2 015个数是正数还是负数?排在对应于A、B、C、D中的什么位置?
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【题目】如图,在△ABC外分别以AB,AC为边作两个大小不同的等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,其中∠DAB=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE.连结DCBE交于F点.
(1)请你找出一对全等的三角形,并加以证明;
(2)直线DC、BE是否互相垂直,请说明理由;
(3)求证:∠DFA=∠EFA.
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【题目】如图,数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6,P 为线段 AB 上任一点,C,D 两点分别从 P,B 同时向 A 点移动,且 C 点运动速度为每秒 2 个单位长度,D 点运动速度 为每秒 3 个单位长度,运动时间为 t 秒.
(1)A 点表示数为 ,B 点表示的数为 ,AB= .
(2)若 P 点表示的数是 0,
①运动 1 秒后,求 CD 的长度;
②当 D 在 BP 上运动时,求线段 AC、CD 之间的数量关系式.
(3)若 t=2 秒时,CD=1,请直接写出 P 点表示的数.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D落在AB边上,斜边DE交AC于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,
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