Question

如图，抛物线与直线交于两点，交轴与两点，连接，已知.

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）求的值；

    （3）设为点下方、轴上方、轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 .

                                                      第27题图

Answer 1

解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入得

  ------------------------------1分

解得

         

∴抛物线的解析式为；--------------2分

（2）如图1，过点B作BH⊥x轴于H，

解方程组

    得：或

        ∴点B的坐标为（4，1）  ---------------------3分

又∵C（3，0）

∴，，，

∴

∵

∴

同理：   ---------------------4分

∴

∴

            ；-------------------------------------5分

（3）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与相似．

过点P作PG⊥y轴于G，则，设点P的横坐标为x，由于P在y轴右侧可得x＞0，则，

∵PQ⊥PA，

， ---------------------------------------6分

    ①如图2，当时，．

∵，

∴

∴

∴

∴P（x，3﹣3x）  ---------------------7分

把P（x，3﹣3x）代入，得

整理，得

     

解得：（舍去），（舍去）；---------8分

②如图3，当时，

同理可得：，

则P      ----------------------------9分

把P，代入，得

整理，得

       

解得：（舍去），

∴    ---------------------------------------10分