Question

18．如图，AB为半圆O的直径，D为$\widehat{BC}$的中点，连结BC交AD于点E，DF⊥AB于F，$tanA=\frac{3}{4}$，DF=16，求DE的长？

Answer 1

分析 连接BD，先由D为$\widehat{BC}$中点，根据圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形对应边成比例得出BD：AD=DE：BD，即为BD²=AD•DE，在Rt△ADG中，由tanA=$\frac{3}{4}$，DF=16，求出AD=$\frac{80}{3}$，然后解Rt△ADB，求出BD=20，再根据（1）的结论BD²=AD•DE，即可求出DE的长．

解答 解：连接BD．
∵D为$\widehat{BC}$中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE；
∵DF⊥AB于F，
∴∠AFD=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADF中，∵tanA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{4}$．
设DF=3k，则AF=4k，AD=5k，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{3}{5}$．
又∵DF=16，
∴AD=$\frac{80}{3}$．
在Rt△ADB中，tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{3}{4}$AD=20．
∵BD²=AD•DE，
∴DE=$\frac{B{D}^{2}}{AD}$=$\frac{2{0}^{2}}{\frac{80}{3}}$=15．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．