Question

7．如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先得出△AEB≌△GBE，再利用四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，进而得出AE与BC之间的关系，由△BCF∽△EAO，得出C点坐标，进而求出k的值．

解答 解：如图，作CF⊥y轴于F，作EG⊥BC于G，
∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°，
∴四边形ABGE是矩形，
在△AEB和△GBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{EB=EB}\\{AB=EG}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△GBE（SSS），
∵A、B的坐标分别是A（-1，0）、B（0，-2），
∴AB直线解析式为：y=kx+b，
故将两点代入得出：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故直线AB解析式为：y=-2x-2，
∵AD⊥AB，AO⊥BE，
∴OA²=OE•OB，即1²=OE×2，
∴OE=$\frac{1}{2}$，
∴E（0，$\frac{1}{2}$）
∵S_{四边形BCDE}=5S_△AEB
∴S_{四边形BCDE}=5S_△GBE
∴S_{四边形CDEG}=4S_△GBE
∴CG=2BG=2AE=2$\sqrt{A{O}^{2}+E{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠AEO=∠CBF，∠EOA=∠CFB=90°，
∴△BCF∽△EAO，
∴$\frac{BF}{EO}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{BC}{AE}$，
∵AE=BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BC=BG+CG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
∴∴$\frac{BF}{EO}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{BC}{AE}$=3，
∴BF=3EO=$\frac{3}{2}$，CF=3AO=3，
∴OF=OB-BF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
设C的坐标为（x，y）则x=3，y=-$\frac{1}{2}$．
故k=xy=3×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合运用，通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标是解题关键．