Question

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得，
解得，
所以，直线AB的解析式为y=-x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；

（3）过点O作QE⊥AO于点E
∵sin∠BAO===
∴QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）=8-t
∴S_△APQ=AP•QE=t（8-t）=-t2+4t=-（t-）2+5．
∴当t=时，△APQ的面积最大，最大面积是5个平方单位．
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）过点O作QE⊥AO于点E，利用t表示出△APQ的面积，利用函数的性质即可求解．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．