Question

19．在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，若AB=m，且使关于x的方程mx+4=2（x+m）有无数个解．
（1）求线段AB的长；
（2）试说明线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关；
（3）若点C为线段AB的中点，点P在线段CB的延长线上，试说明$\frac{PA+PB}{PC}$的值不变．

Answer 1

分析 （1）直接根据关于x的方程mx+4=2（x+m）有无数个解求出m的值即可；
（2）根据题意画出图形，分别用BP，AP表示出PM与PN的值，进而可得出结论；
（3）根据题意画出图形，由各线段之间的关系可得出结论．

解答 解：（1）方程mx+4=2（x+m）可化为（m-2）x=2m-4，
∵关于x的方程mx+4=2（x+m）有无数个解，
∴m-2=0，即m=2，
∴线段AB的长为2；

（2）如图1，∵点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，AB=m，
∴PM=$\frac{1}{2}$BP，PN=$\frac{1}{2}$AP，
∴MN=MP+NP
=$\frac{1}{2}$AB
=$\frac{1}{2}$m；

（3）如图2，∵点C为线段AB的中点，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴PA+PB=PC-AC+PC+BC=2PC，
∴$\frac{PA+PB}{PC}$=2．

点评 本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．