Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6，DF=8，E、F两点在BC边上，DE、DF两边分别与AB边交于点G、H．固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动；同时点P从点F出发，在折线FD﹣DE上以每秒2个单位的速度向点E运动．当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动时间为t（秒）．

（1）当t=2时，PH=cm，DG=cm；
（2）当t为何值时，△PDG为等腰三角形？请说明理由；
（3）当t为何值时，点P与点G重合？写出计算过程．

Answer 1

【答案】
（1）,
（2）解：∵△BEG∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，EG= t+ ，

∴DG=10﹣EG= ﹣ t，

当DG=DP时，

△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE，

∵BF=t，PF=2t，DF=8，

∴PD=DF﹣PF=8﹣2t．

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2．即4t2+36=（8﹣2t）2．

解得t= ．

∴t为 时，△PDE为等腰三角形

（3）解：设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，

此时点P一定在DE边上，DP=DG．

由已知可得tanB= = = ，tanD= ，

∴∠B=∠D，

又∵∠D+∠DEB=90°，

∴∠B+∠DEB=90°，

∴∠DGH=∠BFH=90°．

∴FH=BFtanB= t，DH=DF﹣FH=8﹣ t，DG=DHcosD=（8﹣ t） =﹣ t+ ，

∵DP+DF=2t，

∴DP=2t﹣8．

由DP=DG得，2t﹣8=﹣ t+ ，解得t= ，

∵4＜ ＜6，则此时点P在DE边上．

∴t的值为 时，点P与点G重合

【解析】解：（1）当t=2时，BF=2，PF=4，

∵∠DFE=90°，∠C=90°，

∴△BHF∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，FH= ，

∴PH=PF﹣FH= ，

∵tanB= = = ，tanD= ，

∴∠B=∠D，

∴∠BGE=90°，

∴△BEG∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，EG= ，

∴DG=10﹣EG= ，

所以答案是： ； ；

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．