【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,在Rt△DEF中,∠DFE=90°,EF=6,DF=8,E、F两点在BC边上,DE、DF两边分别与AB边交于点G、H.固定△ABC不动,△DEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动;同时点P从点F出发,在折线FD﹣DE上以每秒2个单位的速度向点E运动.当点E到达点C时,△DEF和点P同时停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)当t=2时,PH=cm,DG=cm;
(2)当t为何值时,△PDG为等腰三角形?请说明理由;
(3)当t为何值时,点P与点G重合?写出计算过程.
【答案】
(1),
(2)解:∵△BEG∽△BAC,
∴ = ,即 = ,
解得,EG= t+ ,
∴DG=10﹣EG= ﹣ t,
当DG=DP时,
△PDE才能成为等腰三角形,且PD=PE,
∵BF=t,PF=2t,DF=8,
∴PD=DF﹣PF=8﹣2t.
在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2.即4t2+36=(8﹣2t)2.
解得t= .
∴t为 时,△PDE为等腰三角形
(3)解:设当△DEF和点P运动的时间是t时,点P与点G重合,
此时点P一定在DE边上,DP=DG.
由已知可得tanB= = = ,tanD= ,
∴∠B=∠D,
又∵∠D+∠DEB=90°,
∴∠B+∠DEB=90°,
∴∠DGH=∠BFH=90°.
∴FH=BFtanB= t,DH=DF﹣FH=8﹣ t,DG=DHcosD=(8﹣ t) =﹣ t+ ,
∵DP+DF=2t,
∴DP=2t﹣8.
由DP=DG得,2t﹣8=﹣ t+ ,解得t= ,
∵4< <6,则此时点P在DE边上.
∴t的值为 时,点P与点G重合
【解析】解:(1)当t=2时,BF=2,PF=4,
∵∠DFE=90°,∠C=90°,
∴△BHF∽△BAC,
∴ = ,即 = ,
解得,FH= ,
∴PH=PF﹣FH= ,
∵tanB= = = ,tanD= ,
∴∠B=∠D,
∴∠BGE=90°,
∴△BEG∽△BAC,
∴ = ,即 = ,
解得,EG= ,
∴DG=10﹣EG= ,
所以答案是: ; ;
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方,以及对解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法).
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【题目】已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答问题:当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C1,平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形,其中O是坐标原点,点A,C,D的坐标分别为(0,8),(5,0),(3,8).若点P在梯形内,且△PAD的面积等于△POC的面积,△PAO的面积等于△PCD的面积. 求点P的坐标.
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【题目】(1)如图1,是等边三角形边上一动点(点)与点不重合,连接,以为边在上方作等边三角形,连接,你能发现与之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
(2)如图二,当动点在等边三角形边上运动时(点与点不重合),连接,以为边在其上方、下方分别作等边三角形和等边三角形,连接,,探究,与有何数量关系?并证明你探究的结论.
(3)如图三,当动点在等边三角形边的延长线上运动时,其他作法与图2相同,若,请直接写出 .
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【题目】如图,某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量一棵古树DE的高度,他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°,在这棵古树的正前方C处,测得古树顶端D的仰角为60°,在A点处测得C点的俯角为30°.已知BC为4米,且B、C、E三点在同一条直线上.
(1)求平房AB的高度;
(2)请求出古树DE的高度(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)
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【题目】如图,已知是腰长为1的等腰三角形,以的斜边为直角边,画第二个等腰三角形,再以的斜边为直角边,画第三个等腰三角形,…,以此类推,则第2019个等腰三角形的斜边长是___________。
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【题目】利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为,,,,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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