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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,在Rt△DEF中,∠DFE=90°,EF=6,DF=8,E、F两点在BC边上,DE、DF两边分别与AB边交于点G、H.固定△ABC不动,△DEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动;同时点P从点F出发,在折线FD﹣DE上以每秒2个单位的速度向点E运动.当点E到达点C时,△DEF和点P同时停止运动.设运动时间为t(秒).

(1)当t=2时,PH=cm,DG=cm;
(2)当t为何值时,△PDG为等腰三角形?请说明理由;
(3)当t为何值时,点P与点G重合?写出计算过程.

【答案】
(1),
(2)解:∵△BEG∽△BAC,

= ,即 =

解得,EG= t+

∴DG=10﹣EG= t,

当DG=DP时,

△PDE才能成为等腰三角形,且PD=PE,

∵BF=t,PF=2t,DF=8,

∴PD=DF﹣PF=8﹣2t.

在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2.即4t2+36=(8﹣2t)2

解得t=

∴t为 时,△PDE为等腰三角形


(3)解:设当△DEF和点P运动的时间是t时,点P与点G重合,

此时点P一定在DE边上,DP=DG.

由已知可得tanB= = = ,tanD=

∴∠B=∠D,

又∵∠D+∠DEB=90°,

∴∠B+∠DEB=90°,

∴∠DGH=∠BFH=90°.

∴FH=BFtanB= t,DH=DF﹣FH=8﹣ t,DG=DHcosD=(8﹣ t) =﹣ t+

∵DP+DF=2t,

∴DP=2t﹣8.

由DP=DG得,2t﹣8=﹣ t+ ,解得t=

∵4< <6,则此时点P在DE边上.

∴t的值为 时,点P与点G重合


【解析】解:(1)当t=2时,BF=2,PF=4,

∵∠DFE=90°,∠C=90°,

∴△BHF∽△BAC,

= ,即 =

解得,FH=

∴PH=PF﹣FH=

∵tanB= = = ,tanD=

∴∠B=∠D,

∴∠BGE=90°,

∴△BEG∽△BAC,

= ,即 =

解得,EG=

∴DG=10﹣EG=

所以答案是:

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方,以及对解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)

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