【题目】(1)如图1,是等边三角形边上一动点(点)与点不重合,连接,以为边在上方作等边三角形,连接,你能发现与之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
(2)如图二,当动点在等边三角形边上运动时(点与点不重合),连接,以为边在其上方、下方分别作等边三角形和等边三角形,连接,,探究,与有何数量关系?并证明你探究的结论.
(3)如图三,当动点在等边三角形边的延长线上运动时,其他作法与图2相同,若,请直接写出 .
【答案】(1);(2);(3)6
【解析】
(1)由等边三角形的性质可得AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,可得∠ACE=∠BCD,根据“SAS”可证△BCD≌△ACE,即AE=BE;
(2)由等边三角形的性质可得AC=BC,DC=CF,∠ACB=∠DCF=60°,可得∠FCB=∠DCA,根据“SAS”可证△ACD≌△BCF,即BF=AD,即可得AB=AE=BF;
(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质可得AE=BD,BF=AD,即可求AB的长.
解:(1)AE=BD,理由如下:
∵△ABC和△DCE是等边三角形
∴AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠BCD,且AC=BC,DC=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴AE=BD
(2)AB=AE+BF,
理由如下:∵△ABC和△DCF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CD,∠FCD=∠BCA=60°,
∴∠FCB=∠DCA,且AC=BC,CF=CD,
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴BF=AD,
由(1)可知,BD=AE,
∵AB=BD+AD,
∴AB=AE+BF
(3)∵△ABC和△DCE是等边三角形,
∴AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,且AC=BC,DC=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴AE=BD=8,
∵△ABC和△DCF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CD,∠FCD=∠BCA=60°,
∴∠FCB=∠DCA,且AC=BC,CF=CD,
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴BF=AD=2,
∵AB=BD-AD
∴AB=8-2=6.
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【题目】如图所示,将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△MNL,则下列结论中正确的有( )
①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于点C.
(1)a=;b=;
(2)点P为该函数在第一象限内的图象上的一点,过点P作PQ⊥BC于点Q,连接PC.
①求线段PQ的最大值;
②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.
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【题目】某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后,才能投放市场,现甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天,而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的,公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元,乙工厂加工费用为每天 120 元.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)公司制定产品加工方案如下:可以由每个厂家单独完成,也可以由两个厂家合作完成.在加工过程中,公司派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天 15 元的午餐补助费, 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案,并说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,在Rt△DEF中,∠DFE=90°,EF=6,DF=8,E、F两点在BC边上,DE、DF两边分别与AB边交于点G、H.固定△ABC不动,△DEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动;同时点P从点F出发,在折线FD﹣DE上以每秒2个单位的速度向点E运动.当点E到达点C时,△DEF和点P同时停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)当t=2时,PH=cm,DG=cm;
(2)当t为何值时,△PDG为等腰三角形?请说明理由;
(3)当t为何值时,点P与点G重合?写出计算过程.
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【题目】某班为奖励在小运动会上取得较好成绩的运动员,花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件,其中甲种奖品每件16元,乙种奖品每件12元,求甲乙两种奖品各买多少件?
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【题目】如图,在△ABC中,以边AB上的一点O为圆心,以OA的长为半径的圆交边AB于点D,BC与⊙O相切于点C.若⊙O的半径为5,∠A=20°,则 的长为 .
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【题目】如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(﹣3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( )
A.(2,﹣3)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,﹣2)
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