【题目】(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为 ;
(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明; 答:∠GEF= .
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE( ),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD( ),
∴∠HEG=180°-∠CGE( ),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH= .
(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°(2)∠BFE+180°∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平行,同旁内角互补;∠BFE+180°∠CGE(3)∠GPQ+∠GEF=90°
【解析】
(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40,∠HEG=50
,相加可得结论;
(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°∠CGE;
(3)如图2,根据角平分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=
∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=∠GMF∠PFM=∠CGP∠BFQ,计算∠GPQ+
∠GEF并结合②的结论可得结果.
(1)如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,
∵∠CGE=130°,
∴∠HEG=50°,
∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;
故答案为:90°;
(2)∠GEF=∠BFE+180°∠CGE,
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(平行线的迁移性),
∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°∠CGE,
故答案为:∠BFE+180°∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平行,同旁内角互补;∠BFE+180°∠CGE;
(3)∠GPQ+∠GEF=90°,
理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=
∠CGE,
在△PMF中,∠GPQ=∠GMF∠PFM=∠CGP∠BFQ,
∴∠GPQ+∠GEF=
∠CGE
∠BFE+
∠GEF=
×180°=90°.
即∠GPQ+∠GEF=90°.
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【题目】四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
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【题目】如图,已知直线,
被直线
所截,
,
是平面内任意一点(点
不在直线
,
,
上),设
,
.下列各式:①
,②
,③
,④
,
的度数可能是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,从点P1(﹣1,0),P2(﹣1,﹣1),P3(1,﹣1),P4(1,1),P5(﹣2,1),P6(﹣2,﹣2),…依次扩展下去,则P2020的坐标为_____.
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【题目】假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的景致.某公园有一座假山,小亮、小慧等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量这座假山的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力,如图,在阳光下,小亮站在水平地面的D处,此时小亮身高的影子顶端与假山的影子顶端E重合,这时小亮身高CD的影长DE=2米,一段时间后,小亮从D点沿BD的方向走了3.6米到达G处,此时小亮身高的影子顶端与假山的影子顶端H重合,这时小亮身高的影长GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,点G,E,D均在直线BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,请你根据题中提供的相关信息,求出假山的高度AB.
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【题目】一般情况下是不成立的,但有些数可以使得它成立,例如:
.我们称使得
成立的一对数
为“相伴数对”,记为
.
(1)若为“相伴数对”,试求
的值;
(2)请写出一个“相伴数对”,其中
,且
,并说明理由;
(3)已知是“相伴数对”,试说明
也是“相伴数对”.
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