Question

14．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，则：①PD=DQ；②∠Q=30°；③DE=$\frac{1}{2}$AC；④AE=$\frac{1}{2}$CQ．其中正确的结论是①③④．（把所有正确结论的序号都写在横线上）．

Answer 1

分析 ①作辅助线，证明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；
②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP与AB不垂直，可以得∠Q不一定为30°；
③根据等腰三角线三线合一得：EF=$\frac{1}{2}$AF，由全等得：DF=$\frac{1}{2}$FC，两式相加可得结论；
④根据30°角所对的直角边是斜边一半可得结论．

解答 解：①过P作PF∥BQ，交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BQ，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=PA，
∵PA=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠CDQ}\\{∠PFD=∠QCD}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴PD=DQ；
所以①结论正确；
②由①得：△PFD≌△QCD，
∴∠DPF=∠Q，
∵△APF等边三角形，
∴∠APF=60°，
∵QP与AB不一定垂直，
∴∠Q不一定为30°，
所以②结论不正确；
③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF，
∵△PFD≌△QCD，
∴DF=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$FC，
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$AC，
所以③结论正确；
④在Rt△AEP中，∠A=60°，
∴∠APE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AP，
∴AE=$\frac{1}{2}$CQ，
所以④结论正确；
所以本题结论正确的有：①③④；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30°角的性质，作辅助线构建全等三角形是本题的关键．