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【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,有AB为斜边的等腰直角三角形ABC,其中点A02),点C(﹣10),抛物线yax2+ax2经过B点.

1)求B点的坐标;

2)求抛物线的解析式;

3)在抛物线上是否存在点N(点B除外),使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)(﹣31) (2yx2+x2 3)见解析

【解析】

1)根据题意,过点BBDx轴,垂足为D;根据角的互余的关系,易得Bxy轴的距离,即B的坐标;

2)根据抛物线过B点的坐标,可得a的值,进而可得其解析式;

3)首先假设存在,分AC是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案.

解:(1)过点BBDx轴,垂足为D

∵∠BCD+∠ACO90°,∠ACO+∠CAO90°,

∴∠BCD=∠CAO

又∵∠BDC=∠COA90°,CBAC

∴△BCD≌△CAO

BDOC1CDOA2

∴点B的坐标为(﹣31);

2)抛物线yax2+ax2经过点B(﹣31),

则得到19a3a2

解得a

所以抛物线的解析式为yx2+x2

3)假设存在点N,使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形:

①若以点C为直角顶点;

则延长BC至点N1,使得N1CBC,得到等腰直角三角形△ACN1

过点N1N1Mx轴,

CN1BC,∠MCN1=∠BCD,∠N1MC=∠BDC90°,

∴△MN1C≌△DBC

CMCD2N1MBD1,可求得点N11,﹣1);

②若以点A为直角顶点;

则过点AAN2CA,且使得AN2AC,得到等腰直角三角形△ACN2

过点N2N2Py轴,同理可证△AN2P≌△CAO

NP2OA2APOC1,可求得点N221),

③以A为直角顶点的等腰RtACN的顶点N有两种情况.即过点A作直线LAC,在直线L上截取ANAC时,点N可能在y轴右侧,即现在解答情况②的点N2

N也可能在y轴左侧,即还有第③种情况的点N3.因此,然后过N3N3Gy轴于G,同理:△AGN3≌△CAO

GN3OA2AGOC1

N3(﹣23);

经检验,点N11,﹣1)与点N221)都在抛物线yx2+x2上,点N3(﹣23)不在抛物线上.

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时间第x

1

3

5

7

10

11

12

15

日销量P(千克)

320

360

400

440

500

400

300

0

1)求yx的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

2)从你学过的函数中,选择合适的函数类型刻画Px的变化规律,请直接写出Px的函数关系式及自变量x的取值范围;

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当m<0时,函数在,y随x的增大而减小;

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其中正确的结论有________ .(只需填写序号)

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(1)分析数量关系填表:

每台售价()

30

31

32

……

30+x

月销售量()

180

170

160

……

_____

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