Question

4．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一动点，设DE=x，作AF⊥AE交CB的延长线于点F．
（1）当点E不与点C，D重合时，求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，当点E从D运动到C的过程中
①点M经过的路径是B
A．直线   B．线段    C．射线    D．圆弧
②求点M经过的路径的长；
③连接BM，直接写出BM的长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根据同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）①根据E点从D点到C点，可得M点从M′到M″；
②根据相似三角形的判定与性质，可得CF的长，根据勾股定理，可得M′M″的长；
③根据相似三角形对应边成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整理即可得到y与x的关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

解答 （1）证明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；
（2）①点M经过的路径是线段，故选：B；
②如图1：
，
△FAC∽△ABC，
$\frac{FC}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
$\frac{FC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
FC=10，M″C=$\frac{1}{2}$FC=5，M″N=5-1=4，
M′M″=$\sqrt{M′{N}^{2}+M″{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
③如图2：
，
∵△ADE∽△ABF，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{BF}{4}$，
∴BF=2x，FC=2+2x，FH=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵MH=2-$\frac{1}{2}$x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-$\frac{1}{2}$x）²+（x-1）²=$\frac{5}{4}$x²-4x+5，
∴y=$\frac{5}{4}$x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=$\frac{5}{4}$x²-4x+5=$\frac{5}{4}$（x²-$\frac{16}{5}$x+$\frac{64}{25}$）+5-$\frac{16}{5}$=$\frac{5}{4}$（x-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
当x=$\frac{8}{5}$时，BM²有最小值$\frac{9}{5}$，
BM有最小值$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是相似形综合题，主要利用了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，二次函数的最值问题，难点在于（2）作辅助线构造出三角形的中位线．