Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0），B（0，2），C是直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线，交x轴于点D．
（1）求直线AB的表达式，并直接写出∠OAB的度数；
（2）是否存在点C，使得△ACD与△AOB全等？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）分点C在线段AB上、点C在线段BA延长线上和点C在AB延长线上三种情况，根据三角形全等的性质可得分别求得．

解答 解：（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，
将点A（-2，0）、B（0，2）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的表达式为y=x+2，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；

（2）如图1，当点C在线段AB上时，

∵△AOB≌△ACD，
∴AO=AC=2，
过点C作CE⊥AO与点E，
∵∠OAB=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$，
∴OE=2-$\sqrt{2}$，
则点C的坐标为（$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$）；
如图2，当点C在线段BA延长线上时，

∵△AOB≌△ACD，
∴AO=AC=2，
过点C作CE⊥AO与点E，
∵∠OAB=∠CAE=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$，
则OE=2+$\sqrt{2}$，
∴点C的坐标为（-2-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）；
当点C在AB延长线上，显然△AOB与△ACD不全等；
故点C的坐标为（-2-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．