Question

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+mx+n-1的对称轴为x=2．
（1）m的值为-4；
（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；
（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式：x=-$\frac{b}{2a}$代入计算，可求m；
（2）把m=-4代入后，令x=0，计算出与y轴交点，写出点A的坐标，点B是对称轴与x轴的交点，所以B（2，0）；
（3）分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，与抛物线只有一个交点，则△=0；
②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，代入可求n；
③如图3，当抛物线过原点时，即过（0，0）代入可求n，发现从过原点时的抛物线向上平移，一直到过图2，都符合条件，所以n的取值为：1≤n＜4或n=5．

解答 解：（1）对称轴：x=-$\frac{m}{2×1}$=2，
m=-4；
（2）把m=-4代入抛物线y=x²+mx+n-1得：
y=x²-4x+n-1，
当x=0时，y=n-1，
∴A（0，n-1），B（2，0），
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，
即：n-1=2，n=3；
（3）①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，
△=0，（-4）²-4×1×（n-1）=0
n=5，
②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，
把（3，0）代入得：3²-4×3+n-1=0，
n=4，
③如图3，当抛物线过原点时，n-1=0，n=1，
结合图象可得，1≤n＜4或n=5．

点评 本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，同时还要熟知：①对称轴公式：直线x=-$\frac{b}{2a}$；②抛物线过原点时，经过（0，0）；③抛物线的顶点在x轴上时，△=0；本题的易错点在：抛物线与线段OC有且只有一个交点，当n在4与5之间时不满足条件，要注意．