Question

6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在边DC上运动，点F在边AD上运动，且DE=AF，AE，BF交于点H，连接DH，则DH的最小值为$\sqrt{5}-1$．

Answer 1

分析 以AB为直径画⊙O．首先证明△BAF≌△DAE，推出∠ABF=∠DAE，推出∠AHF=90°，点H在⊙O上，当O、H、D共线时，DH最小．

解答 解：如图，以AB为直径画⊙O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，
在△BAF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△DAE，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠DAE+∠AEF=90°，
∴∠AHF=90°，
∴点H在⊙O上，当O、H、D共线时，DH最小，
DH=OD-OH=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$-1=$\sqrt{5}$-1，
故答案为$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查正方形的性质、圆的有关知识、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用圆的性质解决最值问题，属于中考常考题型．