Question

1．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE和DC相交于点M．
（1）求证：BE=DC．
（2）连接AM，试证明MA平分∠DME．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，然后可证明∠DAC=∠BAE，接下来证明△DAC≌△BAE可得到DC=BE；
（2）过点A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为F、G．首先证明△DAF≌△BAG，依据全等三角形的性质得到AF=AG，最后依据到角两边距离相等的点在角的平分线上．

解答 解：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°．
∴∠DAC=∠BAE．
∵在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE．
（2）过点A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为F、G．

∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DFA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAF和△BAG中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ABE}\\{∠DFA=∠BGA}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△BAG．
∴AF=AG．
又∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴MA为∠DME的角平分线．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，掌握本题辅助线的做法是解题的关键．