Question

【题目】如图，，、分别在、上，，且，点是的中点，延长、相交于点，连接．

（1）求证：

（2）若，，求的周长和的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△AMC的周长=+5+8；.

【解析】

（1）如图，首先证明DF⊥AE，DF=AF=EF，这是解决问题的关键性结论；运用AAS证明△DFC≌△AFM；
（2）依次求出FM、FC、AC、AM、MC，即可的周长；利用面积公式，即可求出的长.

（1）证明：∵，且，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∵F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF；
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF；

在△DFC与△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS）．
（2）解：∵∠ADE=90°，AD=DE，AF=FE，
∴DF=EF=AF=3，

∵DM=2，

∴FM= 5，

∵△DFC≌△AFM，

∴FC= FM=5，

∴AC=8，

∵∠CFM=90°，

∴CM=5，AM=，

∴△AMC的周长=+5+8，
∵，
∴，
∴.