Question

1．如图．△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图．并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法）．
①作△ABC的外接圆O；
②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；
（2）综合与运用：在你所作的图中．若AC=6，则由线段CD、BD及$\widehat{BC}$所围成图形的面积为6$\sqrt{3}$-2π．

Answer 1

分析 （1）①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，⊙O即为所求；②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，直线CD即为所求；
（2）先求得OC，CD以及∠COB的度数，再根据CD，BD及$\widehat{BC}$所围成图形的面积=S_△DOC-S_扇形O-BC计算即可；

解答 解：（1）①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，则⊙O即为所求．
②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，则点D即为所求．

（2）∵AC=6，∠A=30°，
∴BC=tan30°×6=2$\sqrt{3}$，∠COB=60°，
又∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC=2$\sqrt{3}$，
∵CD与⊙O相切，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∴DO=2OC=4$\sqrt{3}$，
∴DC=6，
∴线段CD，BD及$\widehat{BC}$所围成图形的面积=S_△DOC-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6-$\frac{60π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-2π．
故答案为：6$\sqrt{3}$-2π．

点评 本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心、切线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，学会用分割法求图形面积．