Question

【题目】已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．

（1）求抛物线C2的函数表达式；

（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）

【解析】

（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；

（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝4，①当AP＝AB＝4时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝4时，P2（3﹣4，0），P3（3+4，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．

解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，

﹣1+b+3＝0，

解得b＝﹣2

∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），

∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．

∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，

解得x＝﹣1或3，

∴B（3，0），OB＝3，

∵A（﹣1，4），

∴AB＝4，

①当AP＝AB＝4时，PB＝8，

∴P1（﹣5，0）

②当BP＝AB＝4时，

P2（3﹣4，0），P3（3+4，0）

③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，

∴PA＝PB＝4，

∴P4（﹣1，0）

综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．