Question

【题目】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．

（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确；

（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；

（3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

Answer 1

【答案】（1）正确，理由见解析；（2）当a＝5时，S矩形MNPQ最大为25；（3）矩形的最大面积为180．

【解析】

(1)设BF=x，则AF=12﹣x，证明△AFE∽△ABC，进而表示出EF，利用面积公式得出S矩形BDEF=﹣(x﹣6)2+24，即可得出结论；

(2)设DE=a，AE=10﹣a，则证明△APN∽△ABC，进而得出PN=10﹣a，利用面积公式S矩形MNPQ=﹣(a﹣5)2+25，即可得出结果；

(3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，由矩形性质知AE=EH=10、CD=DH=8，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=8、CG=HE=10，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用(1)的结论解答即可．

(1)正确；理由：

设BF=x(0＜x＜12)，

∵AB=12，

∴AF=12﹣x，

过点F作FE∥BC交AC于E，过点E作ED∥AB交BC于D，

∴四边形BDEF是平行四边形，

∵∠B=90°，

∴BDEF是矩形，

∵EF∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴=，

∴，

∴EF=(12﹣x)，

∴S矩形BDEF=EFBF=(12﹣x)x=﹣(x﹣6)2+24

∴当x=6时，S矩形BDEF最大=24，

∴BF=6，AF=6，

∴AF=BF，

∴当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大；

(2)设DE=a，(0＜a＜10)，

∵AD=10，

∴AE=10﹣a，

∵四边形MNPQ是矩形，

∴PQ=DE=a，PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PN=10﹣a，

∴S矩形MNPQ=PNPQ=(10﹣a)a=﹣(a﹣5)2+25，

∴当a=5时，S矩形MNPQ最大为25；

(3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，如图③所示：

∵∠A=∠HAB=∠BCH=90°，

∴四边形ABCH是矩形，

∵AB=16，BC=20，AE=10，CD=8，

∴EH=10、DH=8，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，，

∴△AEF≌△HED(ASA)，

∴AF=DH=8，

∴BF=AB+AF=16+8=24，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=10，

∴BG=BC+CG=20+10=30，

∴BI=BF=12，

∵BI=12＜16，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

∴IK=BG=15，

由(1)知矩形的最大面积为BIIK=12×15=180．