Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则的最大值为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN=PE，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得的最大值．

∵抛物线y=﹣(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，

∴A(﹣1，0)，B(9，0)，

令x=0，则y=3，

∴C(0，3)，

∴BC，

设直线BC的解析式为y=kx+b．

∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=3，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣m+3)，

∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

作PN⊥BC，垂足为N．

∵PE∥y轴，PN⊥BC，

∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．

∴△PNE∽△BOC．

∴===．

∴PN=PE=(-m2+3m)．

∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+32=10，BC2=90，

∴AC2+BC2=AB2．

∴∠BCA=90°，

又∵∠PFN=∠CFA，

∴△PFN∽△AFC．

∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．

∵，

∴当m时，的最大值为．

故答案为：．