【题目】如图,平面直角坐标系中,正方形的顶点
,
,点
为
边上一动点(不与端点
重合),连接
,作线段
的垂直平分线
交边
于点
,连接
,过点
作
交
于点
.
(1)如图1,当点为线段AB的中点时,求线段
的长;
(2)如图2,若正方形的周长为
,
的周长为
,记
,试证明
为定值;
(3)在(2)的条件下,构造过点C的抛物线同时满足以下两个条件:
①;②当
时,函数
的最大值为
,求二次项系数
的值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)二次项系数
的值为
或
.
【解析】
(1)设,根据勾股定理列方程可得
的值,从而得DE,AE的值,证明△AED∽△BDM,利用相似三角形的性质可得DM的长; (2)正方形OABC的周长为
,设
,表示
,根据勾股定理建立
之间的关系式,由(1)中的相似列比例式可表示BM ,DM ,计算△BMD的周长为
,代入可求得m的值; (3)先利用
与已知条件得到
与
的关系,写出抛物线的解析式,可得对称轴,将(2)中的m代入:得到3≤x≤7时,y有最大值,按开口方向分情况讨论可得结论.
解:(1)设,依题意有:
,
,
,
在中,
,解得
.
∵ED⊥DM, ∴∠EDM=∠ADE+∠BDM=90°,
∵∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED=∠EDM,
∵∠DAE=∠MBD=90°,
∴,
∴,即
,
∴,即线段
的长为
.
(2)设,
,则有
,
,
在中,
,整理得:
.
由可得:
,
从而有:,可得
,
,
∴,
即,将
代入,可得
.
又∵,∴
;∴
为定值.
(3)∵抛物线经过
,∴
,
由,可得
,
∴,其对称轴为
.
由可知当
时,函数
的最大值为
,
于是有:当时,当
时有
,此时
;
当时,当
时有
,此时
.
综上所述,二次项系数的值为
或
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A,B,
(1)求a、b满足的关系式及c的值,
(2)当x<0时,若y=a+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围,
(3)如图,当a=1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由,
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【题目】如图,抛物线y=﹣(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点,D为顶点,连结AC,BC.点P是该抛物线在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E,连结AP交BC于点F,则
的最大值为_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴正半轴交于
两点(点
在点
左侧),与
轴交于点
.
(1)利用直尺和圆规,作出抛物线的对称轴(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若是等腰直角三角形,且其腰长为3,求
的值;
(3)在(2)的条件下,点为抛物线对称轴上的一点,则
的最小值为________.
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【题目】如图,某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一面靠墙,且墙的可利用长度最长为7m.
(1)若生物园的面积为9m2,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少?
(2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?
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【题目】为了丰富同学们的课余生活,某学校举行“亲近大自然”户外活动,现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是?”的问卷调查,要求学生只能从“(植物园)、
(动物园)、
(湿地公园)、
(岳麓山)”四个景点中选择一个,根据调查结果,绘制了两幅不完整的统计图.
(1)这次问卷调查的人数是_________人;
(2)补全条形统计图;
(3)计算“”所在扇形的圆心角度数为_________;
(4)若该学校共有3000名学生,则估计该校最想去岳麓山的学生约为_________人.
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【题目】问题发现:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=kAC(k>1),D是AB上一点,DE∥BC,则BD,EC的数量关系为 .
类比探究
(2)如图2,将△AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0°<a<90°),连接CE,BD,请问(1)中BD,EC的数量关系还成立吗?说明理由
拓展延伸:
(3)如图3,在(2)的条件下,将△AED绕点A继续旋转,旋转角为a(a>90°).直线BD,CE交于F点,若AC=1,AB=,则当∠ACE=15°时,BFCF的值为_____.
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【题目】如图,抛物线的顶点坐标为
,点
的坐标为
,
为直线
下方抛物线上一点,连接
,
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)的面积是否有最大值?如果有,请求出最大值和此时点
的坐标;如果没有,请说明理由.
(3)为
轴右侧抛物线上一点,
为对称轴上一点,若
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点
的坐标.
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