【题目】如图,抛物线的顶点坐标为
,点
的坐标为
,
为直线
下方抛物线上一点,连接
,
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)的面积是否有最大值?如果有,请求出最大值和此时点
的坐标;如果没有,请说明理由.
(3)为
轴右侧抛物线上一点,
为对称轴上一点,若
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点
的坐标.
【答案】(1);(2)最大值为
,点
的坐标为
;(3)点
的坐标为
,
.
【解析】
(1)先设顶点式,再代入顶点坐标得出
,最后代入
计算出二次项系数即得;
(2)点的坐标为
,先求出B、C两点,再用含m的式子表示出
的面积,进而得出面积与m的二次函数关系,最后根据二次函数性质即得最值;
(3)分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况,再分别根据和
列出方程求解即得.
(1)设抛物线的解析式为.
∵顶点坐标为
∴.
∵将点代入
,解得
∴抛物线的解析式为.
(2)如图1,过点作
轴,垂足为
,
交
于点
.
∵将代入
,解得
,
∴点的坐标为
.
∵将代入
,解得
∴点C的坐标为
设直线的解析式为
∵点的坐标为
,点
的坐标为
∴,解得
∴直线的解析式为
.
设点的坐标为
,则点
的坐标为
∴
过点作
于点
∵
∴
故当时,
的面积有最大值,最大值为
此时点的坐标为
(3)点的坐标为
,
.
分两种情况进行①如图2,过点作
轴的平行线,分别交
轴、对称轴于点
,
设点的坐标为
∵
∴
∴在和
中
∴
∴
∵,
∴
解得(舍去),
∴点的坐标为
.
②如图3,过点,
作
轴的平行线,过点
作
轴的平行线,
分别交
,
于点
,
.
设点的坐标
∵由①知
∴
∵,
∴
解得,
(舍去)
∴点的坐标为
综上所述:点的坐标为
或
.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,正方形的顶点
,
,点
为
边上一动点(不与端点
重合),连接
,作线段
的垂直平分线
交边
于点
,连接
,过点
作
交
于点
.
(1)如图1,当点为线段AB的中点时,求线段
的长;
(2)如图2,若正方形的周长为
,
的周长为
,记
,试证明
为定值;
(3)在(2)的条件下,构造过点C的抛物线同时满足以下两个条件:
①;②当
时,函数
的最大值为
,求二次项系数
的值.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,把菱形ABCD绕BC的中点E顺时针旋转60°得到菱形A'B'C'D',其中点D的运动路径为,则图中阴影部分的面积为__.
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【题目】如图1,在中,
,
,点
分别在边
上,
,连接
、
,点
为
的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段与
的数量关系是______,位置关系是________;
(2)探究证明
把绕点
逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想(1)中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想;
(3)拓展延伸
把绕点
在平面内自由旋转,若
,
,请直接写出线段
的取值范围.
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【题目】二次函数y=x2+bx的图像如图所示,对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1<x<6的范围内无解,则的取值范围是___.
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【题目】在正方形ABCD中,点E是直线CD上一动点,以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF,连接AF,试求线段AF与DE的数量关系.
(1)小可同学进行探索:①将点E的位置特殊化,发现DE= ___ AF;
②点E运动过程中,∠BAF= ___ ;(填度数)
(2)如图1,当点E在线段CD上时,证明AF与DE的数量关系;
(3)如图2,当边EF被对角线BD平分时,求值.
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