【题目】如图1,在中,
,
,点
分别在边
上,
,连接
、
,点
为
的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段与
的数量关系是______,位置关系是________;
(2)探究证明
把绕点
逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想(1)中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想;
(3)拓展延伸
把绕点
在平面内自由旋转,若
,
,请直接写出线段
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)如图1中,设PA交BE于点O.证明△DAC≌△EAB(SAS),结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题. (2)结论成立.如图2中,延长AP到M,使得PM=PA,连接JC.延长PA交BE于O.证明△EAB≌△MCA(SAS),即可解决问题. (3)利用三角形的三边关系求出AM的取值范围,即可解决问题.
解:(1)如图1中,设PA交BE于点O.
∵AD=AE,AC=AB,∠DAC=∠EAB,
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴BE=CD,∠ACD=∠ABE,
∵∠DAC=90°,DP=PC,
∴PA=CD=PC=PD, ∴PA=
BE.∠C=∠PAE,
∵∠CAP+∠BAO=90°, ∴∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠AOB=90°, ∴PA⊥BE,
故答案为:,
(2)延长交
于
延长
到
使
,连接
,
则,
,
,
,
,
,
又,
,
,
又,
,
,
,
,
又,
,
即
(3)∵A在平面内自由旋转,∴(2)的图形仍然可用,由已知得AC=10,CM=4,
∴10-4≤AM≤10+4,
∴6≤AM≤14,
∵AM=2AP,
∴3≤PA≤7.
∴PA的最大值为7,最小值为3.
所以:
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【题目】(2017内蒙古通辽市)如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在OA的位置时俯角∠EOA=30°,在OB的位置时俯角∠FOB=60°,若OC⊥EF,点A比点B高7cm.求:
(1)单摆的长度(≈1.7);
(2)从点A摆动到点B经过的路径长(π≈3.1).
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【题目】如图,某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一面靠墙,且墙的可利用长度最长为7m.
(1)若生物园的面积为9m2,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少?
(2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?
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【题目】问题发现:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=kAC(k>1),D是AB上一点,DE∥BC,则BD,EC的数量关系为 .
类比探究
(2)如图2,将△AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0°<a<90°),连接CE,BD,请问(1)中BD,EC的数量关系还成立吗?说明理由
拓展延伸:
(3)如图3,在(2)的条件下,将△AED绕点A继续旋转,旋转角为a(a>90°).直线BD,CE交于F点,若AC=1,AB=,则当∠ACE=15°时,BFCF的值为_____.
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【题目】贺岁片《流浪地球》被称为开启了中国科幻片的大门,2019也被称为中国科幻片的元年.某电影院为了全面了解观众对《流浪地球》的满意度情况,进行随机抽样调查,分为四个类别:A.非常满意;B.满意;C.基本满意;D.不满意.依据调查数据绘制成图1和图2的统计图(不完整).根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的观众共有 人;
(2)扇形统计图中,扇形C的圆心角度数是 .
(3)请补全条形统计图;
(4)春节期间,该电影院来观看《流浪地球》的观众约3000人,请估计观众中对该电影满意(A、B、C类视为满意)的人数.
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【题目】如图,抛物线的顶点坐标为
,点
的坐标为
,
为直线
下方抛物线上一点,连接
,
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)的面积是否有最大值?如果有,请求出最大值和此时点
的坐标;如果没有,请说明理由.
(3)为
轴右侧抛物线上一点,
为对称轴上一点,若
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点
的坐标.
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【题目】如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯,图2是侧面示意图,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,点C在MN上,且位于自动扶梯顶端B点的正上方,BC⊥MN.测得AB=10米,在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°,点B的仰角为30°,求二楼的层高BC(结果保留根号)
(参考数据:sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20)
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