Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）若直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，该抛物线在-3＜x＜-2这一段位于直线l的上方，并且在3＜x＜4这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是直线l上的动点，设m=$\frac{2}{3}$-a（a＞0），如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a是取值范围是$\frac{1}{6}$＜a$≤\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线l的解析式，根据条件可以判定抛物线经过点（-2，6），代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）设点P坐标为（$\frac{2}{3}$-a，$\frac{2}{3}$+2a），根据在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，列出不等式组即可解决问题．

解答 解：（1）令x=0时，y=-2，
∴A（0，-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（1，0），
易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），
则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在3＜x＜4这一段与在-2＜x＜-1这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在-3＜x＜-2这一段位于直线l的上方，在3＜x＜4这一段位于直线AB的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-2，
当x=-2时，y=-2×（-2）+2=6，
∴抛物线经过（-2，6），
4m+4m-2=6，
解得m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-2．
（2）∵y=-2x+2，点P在直线上，
∴P点的坐标可用含a的代数式表示为（$\frac{2}{3}$-a，$\frac{2}{3}$+2a），
∵a＞0，
∴m＜$\frac{2}{3}$＜n，
若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-a＜0}\\{\frac{2}{3}+2a≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-a≥0}\\{\frac{2}{3}+2a＞1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键，学会转化的思想，把问题转化为不等式组解决，属于中考压轴题．