Question

12．如图所示的是某别墅的房顶人字架示意图，在△ABC中，AB=10cm，BC=10$\sqrt{3}$cm，BC边上的中线AD=5m．
（1）判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．
（2）求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）先根据AD是BD上的中线求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状为直角三角形；
（2）由（1）可判断△ADC为直角三角形，然后根据勾股定理即可求AC的长度．

解答 解：（1）△ABD是直角三角形，
理由：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=5$\sqrt{3}$，
在△ABD中，
∵AD²+BD²=5²+（5$\sqrt{3}$）²=100=10²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°；
（2）∵∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10．

点评 此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是：由勾股定理的逆定理先判断△ABD是直角三角形．