Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】四边形GECF是菱形，理由详见解析．

【解析】

试题根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥EC．

又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，

∴GE=CE．

在Rt△AEG与Rt△AEC中，

，

∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），

∴GE=EC，

∵CD是AB边上的高，

∴CD⊥AB，

又∵EG⊥AB，

∴EG∥CD，

∴∠CFE=∠GEA，

∵Rt△AEG≌Rt△AEC，

∴∠GEA=∠CEA，

∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

∴GE=EC=FC，

又∵EG∥CD，即GE∥FC，

∴四边形GECF是菱形．