Question

△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b为关于x的方程  x²-（c+4）x+4c+8=0的二根．
（ 1）求证∠C=90°．
（2）若25asinA=9c，求a、b、c及△ABC的内切圆的面积．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系，推出a，b，c的三边关系，从而根据勾股定理的逆定理可证．
（2）由三角函数的定义，结合已知，分析三边关系，再结合根与系数的关系可求得c，从而求出a，b，再根据三角形的面积公式求得内切圆的半径，从而求解．

解答：解：（1）∵a+b=c+4，
∴a²+b²+2ab=c²+8c+16，
∵ab=4c+8，
∴2ab=8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴∠C=90°；

（2）∵∠C=90°，
∴sinA=

a

c

，
∵25asinA=9c，
∴25a²=9c²，
∴可设a=3k、c=5k，
∴b=4k，
∵a+b=c+4，
∴k=2
∴a=6、b=8、c=10
∴r=

a+b-c

2

=2，
∴s_⊙=πr²=4π．

点评：综合考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆与内心，三角形的面积和解直角三角形．此类题目在根据根与系数的关系解得答案时要代入原方程的判别式进行检验．一元二次方程的两个根x₁、x₂具有这样的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．