【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以 cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A、C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2cm,
∴AB=BC=2,∠BAC= ∠DAB,
又∵∠DAB=60°(已知),
∴∠BAC=∠BCA=30°;
如图1,连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC,
∴OB= AB=1(30°角所对的直角边是斜边的一半),
∴OA= (cm),AC=2OA=2 (cm),
运动ts后, ,
∴
又∵∠PAQ=∠CAB,
∴△PAQ∽△CAB,
∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的对应角相等),
∴PQ∥BC(同位角相等,两直线平行)
(2)解:如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC.
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM= PC=
由PM=PQ=AQ=t,即 =t
解得t=4 ﹣6,此时⊙P与边BC有一个公共点;
如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形,∴QB=PQ=AQ=t,∴t=1
∴ 时,⊙P与边BC有2个公共点.
如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即2 t=t,∴t=3﹣ .
∴当1<t≤3﹣ 时,⊙P与边BC有一个公共点,
当点P运动到点C,即t=2时P与C重合,Q与B重合,也只有一个交点,此时,⊙P与边BC有一个公共点,
∴当t=4 ﹣6或1<t≤3﹣ 或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;
当4 ﹣6<t≤1时,⊙P与边BC有2个公共点.
【解析】(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论;(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,构建Rt△CPM,在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM= PC= ,然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程,通过解方程即可求得t的值;
如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形,然后由等边三角形的性质以及(2)中求得t的值来确定此时t的取值范围;
如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,据此等量关系列出关于t的方程,通过解方程求得t的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半,以及对直线与圆的三种位置关系的理解,了解直线与圆有三种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
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【题目】王警官骑摩托车在一条南北大道上巡逻,某天他从岗亭出发,晚上停留在A处,规定向北方向为正,当天行驶情况记录如下(单位:千米):+10,-8,+7,-15,+6,-16,+4,-2,+9.
(1)A处在岗亭何方?距离岗亭多远?
(2)若摩托车每行驶1千米耗油0.5升,这一天共耗油多少升?
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【题目】三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2 ,三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为( )
A. π
B. π
C.2π
D.3π
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【题目】某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各多少万元.
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元. 则有哪几种购车方案?
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【题目】为了调查学生对雾霾天气的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了如图所示的不完整的三种统计图表.
对雾霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
A.比较了解 | 15% |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次参与调查的学生共有人,n=;扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度;
(2)请补全条形统计图;
(3)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾的知识竞赛,某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去,否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.
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【题目】如图,已知AM∥BN,∠A=60°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB:∠ADB的比值是否随之变化?若不变,请求出这个比值;若变化,请找出变化规律;
(3)当点P运动到某处时,∠ACB=∠ABD,求此时∠ABC的度数.
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【题目】某景区在同一线路上顺次有三个景点A,B,C,甲、乙两名游客从景点A出发,甲步行到景点C;乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B,在B处停留一段时间后,再步行到景点C.甲、乙两人离景点A的路程s(米)关于时间t(分钟)的函数图像如图所示.
(1)甲的速度是 米/分钟;
(2)当20≤t ≤30时,求乙离景点A的路程s与t的函数表达式;
(3)乙出发后多长时间与甲在途中相遇?
(4)若当甲到达景点C时,乙与景点C的路程为360米,则乙从景点B步行到景点C的速度是多少?
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【题目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为: .
②BC,CD,CF之间的数量关系为:;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,请求出GE的长.
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【题目】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连结PQ,试判断△PQC的形状( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
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