Question

【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB．

那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．

Answer 1

【答案】(1)、∠APB=90°，AF+BE=2AB；理由见解析；(2)、AQ=4﹣3或4+3

【解析】

试题分析：(1)、由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可；(2)、先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．

试题解析：(1)、原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），

理由：∵AM∥BN， ∴∠MAB+∠NBA=180°， ∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，

∴∠EAB=∠MAB，∠FBA=∠NBA， ∴∠EAB+∠FBA=（∠MAB+∠NBA）=90°， ∴∠APB=90°，

∵AE平分∠MAB， ∴∠MAE=∠BAE， ∵AM∥BN， ∴∠MAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE，

同理：AF=AB， ∴AF=+BE=2AB（或AF=BE=AB）；

(2)、如图1，

过点F作FG⊥AB于G， ∵AF=BE，AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF+BE=16，

∴AB=AF=BE=8， ∵32=8×FG， ∴FG=4， 在Rt△FAG中，AF=8， ∴∠FAG=60°，

当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，

当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，

①如图2，

当∠FAB=60°时，∠PAB=30°， ∴PB=4，PA=4， ∵BQ=5，∠BPA=90°， ∴PQ=3，

∴AQ=4﹣3或AQ=4+3．

②如图3，

当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°， ∴PB=4， ∵PB=4＞5，

∴线段AE上不存在符合条件的点Q，

∴当∠FAB=60°时，AQ=4﹣3或4+3．