Question

18．如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）．

Answer 1

分析 过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，根据余弦的定义求出AE，根据正弦的定义求出BE，设BF=x米，根据正切的定义求出NF，结合图形列出方程，解方程即可．

解答 解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠D=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=55$\sqrt{3}$（米），
BE=AB•sin30°=$\frac{1}{2}$×110=55（米），
设BF=x米，则AD=AE+ED=55$\sqrt{3}$+x（米），
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=$\sqrt{3}$x（米），
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
∴DN=DF+NF=55+$\sqrt{3}$x（米），
即55$\sqrt{3}$+x=$\sqrt{3}$x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+$\sqrt{3}$x≈150（米），
答：山的高度约为150米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．