Question

【题目】阅读下面材料，完成相应的任务：

(1)小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是　 　命题(填“真”或“假”)；

(2)小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；

(3)小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'　 　，　 　，则四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．

Answer 1

【答案】(1)假；(2)证明见解析；(3)∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．

【解析】

（1）连接AC，延长BC到E，过点E作EF∥CD，交AD的延长线于点F，则∠E=∠BCD，∠F=∠ADC，将四边形ABEF平移得到四边形A′B′C′D′，则AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，而BC≠B′C′，AD≠A′D′，得出四边形ABCD和四边形A′B′C′D′不全等，即可得出结论；

（2）连接BD，B′D′，证明△ABD≌△A′B′D′，得出BD=B′D′，∠ABD=∠A′B′D′，∠ADB=∠A′D′B′，再证明△BCD≌△B′C′D′，得出∠C=∠C′，∠CBD=∠C′B′D′，∠BDC=∠B′D′C′，证出∠ABC=∠A′B′C′，∠CDA=∠C′D′A′，即可得出结论；

（3）连接AC、A′C′，证明△ABC≌△A′B′C′，得出AC=A′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′，得出∠ACD=∠A′C′D′，再证明△ACD≌△A′C′D′，得出AD=A′D′，∠D=∠D′，∠CAD=∠C′A′D′，证出∠BAD=∠B′A′D′，即可得出结论．

解：(1)连接AC，延长BC到E，过点E作EF∥CD，交AD的延长线于点F，

则∠E＝∠BCD，∠F＝∠ADC，

将四边形ABEF平移得到四边形A′B′C′D′，如图1所示：

则AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，

而BC≠B′C′，AD≠A′D′，

∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′不全等，

∴命题①是假命题，

故答案为：假；

(2)证明：连接BD，B′D′，如图2所示：

在△ABD和△A′B′D′中，

∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)，

∴BD＝B′D′，∠ABD＝∠A′B′D′，∠ADB＝∠A′D′B′，

在△BCD和△B′C′D′中，

∴△BCD≌△B′C′D′(SSS)，

∴∠C＝∠C′，∠CBD＝∠C′B′D′，∠BDC＝∠B′D′C′，

∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠A′B′C′＝∠A′B′D′+∠C′B′D′，∠CDA＝∠ADB+∠BDC，∠C′D′A′＝∠A′D′B′+∠B′D′C′，

∴∠ABC＝∠A′B′C′，∠CDA＝∠C′D′A′，

∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′；

(3)若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，则四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′；理由如下：

连接AC、A′C′，如图3所示：

在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)，

∴AC＝A′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，

∵∠C＝∠C′，

∴∠ACD＝∠A′C′D′，

在△ACD和△A′C′D′中，

∴△ACD≌△A′C′D′(SAS)，

∴AD＝A′D′，∠D＝∠D′，∠CAD＝∠C′A′D′，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠B′A′D′＝∠B′A′C′+∠C′A′D′，

∴∠BAD＝∠B′A′D′，

∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，

故答案为：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．