Question

【题目】已知：为直径，点为上一点，弦，垂足为，点为上一点，连接、、，.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作，垂足为，连接交于，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）半径为.

【解析】

（1）由AB为直径，CD⊥AB，得，从而∠CEB=∠BED=∠CDB，即可得到∠CED=2∠CDB，结合∠CDE=2∠CDB，即可求解；

（2）由可得∠ACE=∠ABE，由AM⊥CE，CH⊥AB，可得∠AHC=∠AMC，则∠AHM=∠ACM，故∠AHM=∠ABE，即可求解；

（3）证明△AEF≌△AEM（AAS）、△AFD≌△AMC（AAS）、△CGB∽△ECB，即可求解．

（1）∵为直径，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴，

则∠AHM=∠ACM，

∴∠AHM=∠ABE，

∴MH∥BE；

（3）连接、、，过作，

则，AE=AE，

∴（AAS），

∴，EF=EM，

∵为直径，，

∴，

∴，

∴ (HL) ，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

所以，，

，

∴，

∴，

相似比，

∴设，，，

过点作于，

∵，

作，

则，

，，，

∵，

∴，

解得，

∴，

，

，

，

，

∴半径为.