Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，以为圆心，在第一象限内画圆弧，与双曲线交于两点，点是圆弧上一个动点，连结并延长交第三象限的双曲线于点，作轴，轴，只有当时，，则的半径为_____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再找出当时，点C的位置，从而可得出点的纵坐标，然后根据圆的性质列出等式，求解即可得．

设双曲线的解析式为

如图，设圆弧与双曲线相交的两点为，过点作轴于点，过作轴于点

由反比例函数的性质可知，

在和中，

当动点C恰好在点处时，

同理可得：当动点C恰好在点处时，

当点C位于弧上时，设CD与双曲线的交点为，过作轴于点

则有

又显然有

则

因此，当点C位于弧上时，一定有

即当时，一定有

要使“只有当，即时，”成立，则

解得

又由圆的性质得：，即

解得或（舍去）

则的半径为

故答案为：．