Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax²+bx+c=m有两个不相等的实数根．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；
（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；
（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（-1，0）、（0，-3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，
由题意得：

a-b+c=0 c=-3 16a+4b+c=5

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴该抛物线解析式为：y=x²-2x-3．
（2）由（1）知：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1．
（3）由题意得：x²-2x-3=m，
即x²-2x-3-m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（-2）²-4×1×（-3-m）＞0，
解得：m＞-4．
即当m＞-4时，ax²+bx+c=m有两个不相等的实数根．

点评：该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．