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【题目】已知反比例函数y=(m为常数)的图象在一、三象限.

(1)求m的取值范围;

(2)如图,若该反比例函数的图象经过ABOD的顶点D,点A、B的坐标分别为(0,3),(2,0).

求出函数解析式;

设点P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则P点的坐标为 ;若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的个数为 个.

【答案】(1)m<

(2)反比例函数解析式为y=

P点的坐标为(2,3),(3,2),(3,2);4

【解析】

试题分析:(1)根据反比例函数的性质得12m>0,然后解不等式得到m的取值范围;

(2)根据平行四边形的性质得ADOB,AD=OB=2,易得D点坐标为(2,3),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得12m=6,则反比例函数解析式为y=

根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD,则此时P点坐标为(2,3);再根据反比例函数y=的图象关于直线y=x对称,可得点D(2,3)关于直线y=x对称点P满足OP=OD,此时P点坐标为(3,2),易得点(3,2)关于原点的对称点P也满足OP=OD,此时P点坐标为(3,2);由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形,所以以D点为顶点可画出点P1,P2;以O点顶点可画出点P3,P4,如图.

试题解析:(1)根据题意得12m>0,

解得m<

(2)①∵四边形ABOD为平行四边形,

ADOB,AD=OB=2,

A点坐标为(0,3),

D点坐标为(2,3),

12m=2×3=6,

反比例函数解析式为y=

②∵反比例函数y=的图象关于原点中心对称,

当点P与点D关于原点对称,则OD=OP,此时P点坐标为(2,3),

反比例函数y=的图象关于直线y=x对称,

点P与点D(2,3)关于直线y=x对称时满足OP=OD,

此时P点坐标为(3,2),

点(3,2)关于原点的对称点也满足OP=OD,

此时P点坐标为(3,2),

综上所述,P点的坐标为(2,3),(3,2),(3,2);

由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则以D点为圆心,DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1,P2,则点P1,P2满足条件;以O点为圆心,OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3,P4,则点P3,P4也满足条件,如图,作线段OD的垂直平分线,与反比例函数的图象无交点.

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