Question

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）∠PAG =45°，PG=OG+BP．理由见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；

（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；

（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．

试题解析：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，

∵，

∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）【解析】
PG=OG+BP．

由（1）同理可证△ADP≌△ABP，

则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，

又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，

故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，

∴DG=OG，DP=BP，

∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）【解析】
∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，

∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，则G点坐标为：（，0），

CG=3-，

在Rt△PCG中，

PC=，

则P点坐标为：（3，3-3），

设直线PE的解析式为y=kx+b，

则，解得，

所以，直线PE的解析式为．

考点：一次函数综合题．