Question

如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：
（1）AC-BE=AE；
（2）AC=2BD．

Answer 1

证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EBC=∠C，
∴BE=CE，
∴AC-BE=AC-CE=AE；

（2）延长BD至N，使DN=BD，
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN=∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
分析：（1）由△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，易得∠EBC=∠C，即可证得BE=CE，继而可得AC-BE=AE；
（2）首先延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．