Question

17．有两个一元二次方程M：ax²+bx+c=0；N：cx²+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中：正确的个数有（　　）
①如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根；
②如果ac＜0，方程M、N都有两个不相等的实数根；
③如果2是方程M的一个根，那么$\frac{1}{2}$是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则△=b²-4ac=0，对于方程cx²+bx+a=0，△=b²-4ac=0，则方程N也有两个相等的实数根；
②利用ac＜0和根的判别式进行判断即可；
③把x=2代入ax²+bx+c=0得：4a+2b+c=0，等式的两边通除以4得到$\frac{1}{4}$c+$\frac{1}{2}$b+a=0，于是得到结论正确；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x=±1．

解答 解：①∵方程M有两个相等的实数根，∴△=b²-4ac=0，
∵方程N的△=b²-4ac=0，∴方程N也有两个相等的实数根，故正确；
②∵ac＜0，∴b²-4ac＞0，∴程M、N都有两个不相等的实数根；故正确；
③∵把x=2代入ax²+bx+c=0得：4a+2b+c=0，
∴$\frac{1}{4}$c+$\frac{1}{2}$b+a=0，∴$\frac{1}{2}$是方程N的一个根；故正确；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x=±1；故错误．
故选B．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．