Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；

（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5（2）（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）

【解析】整体分析：

（1）用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设H(t，t2-4t-5)，用含t的代数式表示FH的长，求出CE的长，用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线积的一半，把四边形CHEF的面积表示为关于t的二次函数，用二次函数的性质求解；（3）作点M，K关于x轴，y轴对称点M′，K′，连接M′K′，分别交x轴，y轴于点P，Q，求出M′K′的解析式，即可得到点P，Q的坐标.

解：（1）把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5得

，解得

∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5

（2）如图2，设H(t，t2-4t-5)，

∵CE||x轴，∴-5=x2-4x-5，解得，x1=0，x2=4，

∴E(4，-5)，∴CE=4，

∵B(5，0)，C(0，-5)，

∴，

∴直线BC的解析式为y2=x-5，∴F(t，t-5)，

∵CE||x轴，HF||y轴，∴CE⊥HF，

∴四边形CHEF的面积=)2+，

∴H(.

（3）如图3，

∵点K为顶点，∴K(2，-9)，

∴点K关于y轴的对称点K′的坐标为(-2，-9)．

∵M(4，m)，∴M(4，-5)，

∴点M关于x轴的对称点M′的坐标为(4，5)．

设直线K′M′的解析式为y3=a3x+b3，

，∴

∴直线BC的解析式为y3=，

∴P，Q的坐标分别为P(，0)，Q(0，-.